Zahlenkronen - Unterrichtliche Ideen

Zunächst arbeiten die Kinder mit ausgefüllten Zahlenkronen (siehe Forscherkarte 1) und stellen Vermutungen zu den Zusammenhängen zwischen den Zahlen in den Kronen auf. Hier kann recht schnell erkannt werden, dass sich die rosa Zahl aus der Addition der beiden orangen Zahlen ergibt (hier z.B.: 6 + 4 = 10). Eine etwas anspruchsvollere Beziehung besteht zwischen den gelben und den orangen Zahlen (hier z.B.: 6 liegt in der Mitte von 5 und 7). Hier genügt es vorerst zu entdecken, dass die orange Zahl „in der Mitte“ der umliegenden Zackenzahlen liegt (Tippkarte 1). Die Ideen werden gesammelt und der Aufbau der Zahlenkrone besprochen. In diesem Zuge werden die Begriffe „Zackenzahlen“, „Mittelzahlen“ und „Summenzahlen“ eingeführt, um den Austausch im weiteren Verlauf zu erleichtern.

In der Erkundungsphase beschäftigen sich die Kinder intensiver mit den Mittelzahlen (Forscherkarte 2), um verschiedene Methoden zu finden, diese zu bestimmen.

Hier eignet sich als Hilfsmittel ein Zahlenstrahl, der gegebenenfalls geknickt werden kann, sodass die Zackenzahlen genau aufeinandertreffen und die gesuchte Mittelzahl im „Knick“ liegt. Die Mittelzahl kann auch rechnerisch ermittelt werden, indem die Summe der Zackenzahlen gebildet und diese anschließend halbiert wird. Eine andere Möglichkeit besteht darin, auf dem Zahlenstrahl von beiden Zackenzahlen ausgehend gleich viele Schritten aufeinander zuzugehen, bis man die Mittelzahl erreicht (Tippkarte 2).

Die folgenden Dokumente zeigen verschiedene Vorgehensweisen der Kinder bei der Ermittlung der Mittelzahlen:

                                                   Abbildung 1: Verwendung des Zahlenstrahls als Hilfsmittel

                                                  Abbildung 2: rechnerische Ermittlung der Mittelzahlen

Im Anschluss berechnen die Lernenden nun weitere Zahlenkronen, die Lücken an verschiedenen Stellen aufweisen (Forscherkarte 3, Arbeitsblatt 1). Nach einer kurzen Übungsphase, in der das Aufgabenformat gefestigt wird (Teilaufgabe a), liegt der Fokus zunächst auf Lücken-Kronen, die eindeutig lösbar sind (Teilaufgabe b). Dabei nutzen die Kinder unterschiedliche Strategien, um die Lücken zu füllen. Einige Kinder ermitteln zuerst den Abstand zwischen Zackenzahl und Mittelzahl (hier 3), um dann mit diesem Wissen von der Mittelzahl aus weiterzurechnen (4 + 3 = 7).

Alternativ lässt sich die gesuchte Zackenzahl auch ermitteln, indem man die Mittelzahl verdoppelt und die gegebene Zackenzahl abzieht (z.B. 4 + 4 = 8, 8 - 1 = 7). Bei Teilaufgabe c bearbeiten die Kinder Zahlenkronen, die mehrere Lösungen zulassen. Die Kinder wenden ihr erworbenes Wissen an und gelangen durch geeignete Zahlzerlegungen auf verschiedene Lösungen.

Beim Forscherauftrag 4 vertiefen die Kinder ihr Verständnis des arithmetischen Mittels, indem sie untersuchen, wie sie die Zackenzahlen wählen müssen, um ganzzahlige Mittelzahlen zu erhalten: Die Zackenzahlen müssen entweder alle gerade oder alle ungerade sein. Hierfür bekommen sie Arbeitsblatt 2 mit unausgefüllten Kronen, die die Lernenden zum Ausprobieren und Entdecken anregen sollen. Als Differenzierungsmaßnahme empfehlen wir die Kronen auszuschneiden und in lösbare und unlösbare Zahlenkronen zu ordnen. Anschließend können die Kinder die verschiedenen Stapel nach Gemeinsamkeiten in den Zackenzahlen untersuchen, um daraus vertiefte Entdeckungen abzuleiten (Tippkarte 4).

Nach unseren Erfahrungen gibt es nur wenige Kinder, die bei der Berechnung der Mittelzahlen mit selbstgewählten Zackenzahlen auf ein Ergebnis mit Dezimalstellen stoßen, wie zum Beispiel 6 + 3 = 9, 9 : 2 = 4,5. Diese Ergebnisse bieten jedoch eine gute Gelegenheit für vertiefte Betrachtungen.

In der Erfindungsphase gestalten die Kinder zunächst eigene Zahlenkronen. Dabei können sie beispielsweise Zahlen von 0 bis 100 verwenden und auch Zahlen mehrfach in die Lücken einsetzen. Außerdem können sie versuchen, durch geeignete Zahlzerlegungen so viele Zahlenkronen wie möglich zu einer bestimmten Summenzahl zu finden (Forscherkarte 5).

Zusätzliche Anregungen zur Erforschung der Zahlenkronen

Mit Forscherkarten 6 und 7 werden weitere Zahlzusammenhänge am Aufgabenformat der Zahlenkronen untersucht. Diese Ideen eignen sich sicherlich auch für die Herausforderung besonders begabter Kinder.

Bei Forscherkarte 6 beschäftigen sich die Kinder damit, wie sich eine Erhöhung einer der Zackenzahlen auf die Summenzahl auswirkt. So erhöht sich die Summenzahl etwa um 2, wenn die mittlere Zackenzahl um 2 erhöht wird. Wird dagegen eine der äußeren Zackenzahlen um 2 erhöht, erhöht sich die Summenzahl nur um 1.

Bei aufeinanderfolgenden geraden oder ungeraden Zackenzahlen ist die Summenzahl immer das Doppelte der mittleren Zackenzahl und gleichzeitig die Summe der äußeren beiden Zackenzahlen.

Mithilfe der Forscherkarte 7 können die Kinder die Auswirkungen der Reihenfolge der Zackenzahlen untersuchen. So ergeben sich beispielsweise bei den Zackenzahlen 1, 3, 5 insgesamt sechs verschiedene Kronen mit den Summenzahlen 5, 6 und 7, wobei jede dieser Summenzahlen zweimal auftritt.

Kronen mit derselben Summenzahl haben auch die gleiche mittlere Zackenzahl.

In Partnerarbeit können die Kinder ihre selbst erstellten Zahlenkronen nun als Rätsel für ein anderes Kind verwenden. Dazu notieren sie die Zahlen aus ihren Kronen in zufälliger Reihenfolge auf ein Blatt und das Partnerkind versucht, diese Zahlen passend in eine leere Zahlenkrone einzufügen. Um die Zahlen richtig anzuordnen, müssen die Kinder das Aufgabenformat und das Konzept des arithmetischen Mittels gut verstanden haben, um geeignete Strategien zu entwickeln. Auch hier stehen wieder Tipps zur Verfügung (Tippkarte 7).