Unterstützung für P- und W-Seminare

Die reellen Zahlen zerfallen in die rationalen und die irrationalen Zahlen. In dem Seminar sollen die Unterschiede und die Gemeinsamkeiten dieser beiden Klassen von Zahlen ausgearbeitet werden. Dabei ergeben sich mitunter auch interessante Anwendungen im täglichen Leben. Als Themen hierzu bieten sich an: Abzählbarkeit von Mengen (bzw. Überabzählbarkeit); rationale Approximationen von reellen Zahlen; der euklidische Algorithmus und lineare diophantische Gleichungen; das 'Briefmarkenproblem' endliche Kettenbrüche; die Mathematik in der Kalenderrechnung; unendliche Kettenbrüche von Quadratwurzeln; die Fibonacci-Zahlen und der goldene Schnitt; Charakterisierung der rationalen Zahlen durch eine schließlich periodische Dezimalentwicklung; der Kettenbruch der Eulerschen Zahl e. Als Quelle bietet sich (weitgehend) das Buch "Elementare Zahlentheorie" von Oswald & Steuding, Springer (2015) an.

Ansprechpartner: Jörn Steuding

Räder, die auf einem Untergrund abrollen und deren Mittelpunkt während des Rollens konstanten Abstand zum Untergrund halten, müssen nicht notwendigermaßen kreisrund sein. Ein gängiges Beispiel hierfür ist ein Zahnrad und der entsprechende  Zahnstangenuntergrund einer Zahnradbahn. In diesem Seminar werden solche „exotischen" Räder untersucht und berechnet, damit sie den obigen Anforderungen genügen. Einfachste Beispiele wie Polygone, dann auch Zahnräder mit dreieckigen Zähnen  und schließlich auch solche mit abgerundeten Zähnen werden berechnet. Der Untergrund, über den gerollt wird, muss ein entsprechendes Pendant sein.

Ansprechpartner: Knut Hüper

Differentialgeometrie von Kurven und Flächen im R³ kann im wesentlichen mit dem Begriff der Ableitung und eventuell des Integrals bewerkstelligt werden. Da in der elften Klasse das Integral noch nicht zur Verfügung steht, dann aber Anfang der zwölften Klasse eingeführt wird, kann eventuell noch auf einige Dinge wie Kurvenlänge am Ende eingegangen werden. 

Die Idee dieses W-Seminars ist, ein Gefühl für Kurven und Flächen im Anschauungsraum R³ zu vermitteln und dabei zu lernen, wie die Differenialrechnung gewinnbringend eingesetzt werden kann. Dabei werden Kurven und Flächen als parametrisiert angenommen, was sie expliziten Rechnungen zugänglich macht. Die Intuition, die die Schüler entwickeln sollen, kann dann insbesondere am Computer leicht getestet werden, indem sie mit einfachen Programmen (z.B. Geogebra oder direkt selbst
programmiert) ihre Überlegungen visualisieren.

Im Unterrichtsteil des Seminars werden dazu die Grundlagen der Geometrie im R³ erklärt, um die nötigen Hilfsmittel bereitzustellen. Dies umfasst beispielsweise Skalarprodukte und Kreuzprodukt von Vektoren, eventuell ein bisschen was zu linearen Abbildungen wie Projektionen auf einen Unterraum etc. Letzteres könnte benutzt werden, um die zwei-dimensionalen Bilder von Flächen im R³ unter eine Projektion auf eine Ebene zu untersuchen. Konkret können die Schüler dies dann am Computer visualisieren.

Hauptteil des Unterrichts ist dann, die Begriffe der parametrisierten Kurve und der parametrisierten Fläche zu diskutieren. Hier sind insbesondere Koordinatensysteme auf einer Fläche und deren Wechsel etc. interessant und bieten viel Spielraum zum Selbstrechnen und Ausprobieren. Tangentialvektoren an Kurven, begleitendes Dreibein und damit die Krümmung lässt sich ebenso einführen wie die Tangentialebenen an parametrisierte Flächen.

Der Begriff der Kurvenlänge kann notfalls auch ohne Integral durch die Nährung über endliche Summen diskutiert werden. Dies kann dann als gute Motivation dazu dienen, das Integral am Ende doch noch einzuführen. In einfachen Fällen kann man dann  durch geschickte Koordinatenwahl die Kurvenlänge bestimmen (z.B. auf der Sphäre) und die kürzesten Verbindungen (Geodätische) ausrechnen.

Denkbare Themen:

• Koordinatensysteme auf der Erdoberfläche (Polarkoordinaten, Stereographische Projektion etc.) Koordinatenwechsel bestimmen und Verhalten den Tangentialvektoren unter Koordinatenwechsel. 
• Der Torus, Koordinatensysteme durch Winkel etc. Kreise auf dem Torus. 
• Kurven auf der Sphäre. Herleitung, dass die Großkreise wirklich die Geodätischen sind. Das geht elementar in Polarkoordinaten.
• Hyperboloide und ihre Parametrisierung. Verschiedene Konstruktionen durch Drehungen von Geraden im R³ etc.
• Sphärische Dreiecke, Herleitung der wichtigen Sätze. 
• Rotationsflächen, Tangenten hierzu. 
• Symmetrien von Kurven und Flächen. Hier erst Symmetriekonzepte entwickeln als Symmetrie = Gruppe plus Wirkung, dann für verschiedene Situationen anwenden. 
• Koordinatensystem in der Astronomie.

Bei allen Themen kann man besonders Wert auf die nötige Visualisierung legen. Je nach Vorwissen können die SchülerInnen hier selbst programmieren oder zumindest mit frei verfügbaren Programmen wie Geogebra eigene Bilder erstellen.
Ebenso sollte man den Schülern nahelegen, sich im Zuge der Seminararbeit gleich mit den richtigen Programmen wie LATEX und natürlich TikZ zum Erstellen der Arbeit auseinanderzusetzen.

Literatur:

1. Bär, C.:Elementare Differentialgeometrie. Walter de Gruyter & Co., Berlin, 2. edition, 2010. 
   Sicherlich eines der besten Lehrbücher zur elementaren Differentialgeometrie. Hier findet man alles,
   was man braucht. In gewissen Teilen ist das sogar direkt für Schüler geeignet, andere müssen eher
   noch aufbereitet werden.
2. do Carmo, M. P.:Differentialgeometrie von Kurven und Flächen. Vieweg, Braunschweig, Wiesbaden, 2. edition, 1992. 
   Ein Klassiker, etwas in die Jahre gekommen und mit leicht veralteter Notation.
3. Pressley, A.: Elementary Differential Geometry. Springer Undergraduate Mathematics Series. Springer-Verlag, London, Dordrecht, Heidelberg, second. edition, 2010.
   Sehr schönes und neueres Buch zur elementaren Differentialgeometrie.
4. Tapp, K.: Differential geometry of curves and surfaces. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, Cham, 2016. 
   Ein neues Buch zur elementaren Differentialgeometrie mit sehr vielen schönen Visualisierungen, Aufgaben etc.

Ansprechpartner: Stefan Waldmann