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  • Prof. Dashkovskyi und Prof. Dirr beim Disput
Dynamische Systeme und Kontrolltheorie

Forschungsbereiche

Forschungsschwerpunkte der Arbeitsgruppe liegen in der Kontroll- und Systemtheorie mit den folgenden Hauptrichtungen:

Stabilitätstheorie

Stabilität eines dynamischen Systems ist eine Eigenschaft, die für viele praktische Anwendungen entscheidend ist. Wir untersuchen, ob diese Eigenschaft erhalten bleibt, wenn das System gestört ist und / oder mit anderen stabilen Systemen gekoppelt wird.

Vernetzte dynamische Systeme

Im Bereich vernetzter dynamischer Systeme beschäftigen wir uns mit dem dynamischen Verhalten großer gekoppelter Systeme. Im Mittelpunkt stehen Stabilitätsuntersuchungen und konstruktive Methoden zur Bestimmung von Lyapunovfunktionen. Darüber hinaus werden Probleme der dezentralen Regelung und Zustandsschätzung untersucht. Dabei kommt es vielfach zu einem interessanten Zusammenspiel zwischen Methoden der linearen und nichtlinearen Systemtheorie, der Theorie positiver Systeme und der Graphentheorie, die zur Charakterisierung der Kopplungsstruktur benötigt werden.

Ein weiterer Aspekt ist die Zustandsschätzung, Filterung und Regelung vernetzter Systeme, die über digitale Datenkanäle gekoppelt sind. Derartige Datenkanäle sind in der Regel durch harte Übertragungsbeschränkungen in der Datenmenge, durch zeitliche Verzögerungen sowie möglichen Datenverlust gekennzeichnet. Klassische Verfahren der Kontrolltheorie gehen dagegen davon aus, dass die vorhandenen Daten kontinuierlich und jederzeit verfügbar sind. Hier werden neuartige Ansätze entwickelt, derartige Kommunikationsbeschränkungen  berücksichtigen.

Ein zusätzliches Anwendungsfeld liegt in der Untersuchung großer logistischer Netzwerke und der in ihnen auftretenden dynamischen Effekte. In Zukunft wird auch die Untersuchung von Quantennetzen eine interessante Herausforderung darstellen.

Beteiligte des Forschungsbereichs:

Bilineare Systeme / Systeme auf Lie-Gruppen

Die nichtlineare geometrische Kontrolltheorie benutzt als Teilgebiet der Kontroll- und Systemtheorie zur Untersuchung nichtlinearer Systeme vorwiegend differentialgeometrische Methoden, wie z.B. (involutive) Distributionen, die Sätzen von Frobenius und Hermann/Nagano, etc.

Insbesondere bilineare oder allgemeiner invariante Systeme auf Lie-Gruppen stellen eine reichhaltige Teilklasse nichtlinearer Systeme dar, deren zusätzliche Gruppenstruktur den Einsatz Lie-theoretischer Methoden erlaubt, wodurch man in der Regel "besser" Ergebnisse als in der allgemeinen  nichtlinearen Theorie erhält . Ein aktuelles und ständig wachsendes Anwendungsgebiet stellt z.B. der Bereich der Quantenkontrolle, d.h. der Kontrolltheorie quantenmechanischer Systeme, wie z.B. der Liouville-von-Neumann und Lindblad-Kossakowski Gleichung dar.

Beteiligte des Forschungsbereichs:

Aktuelle Projekte:

Quantenkontrolle

Ein Forschungsschwerpunkt der Arbeitsgruppe liegt auf dem interdisziplinären Gebiet der Quantenkontrolle, also der Steuerung quantenmechanischer Systeme, wie z.B. endlich-dimensionaler Spinsysteme. Neben technischen Innovationen, wie z.B. Anwendungen in der Kernspin-Spektroskopie oder Spintronik liefert die Quantenkontrolle auch wichtige theoretische Grundlagen der Quanteninformationstheorie und des Quantencomputing. Unser Interesse besteht u.a. an Algorithmen zur effizienten Berechnung von Entanglement-Maßen, C-numerischen Wertebereichen, Verallgemeinerungen des Satzes von Solovay-Kitaev sowie allgemein der Charakterisierung von Erreichbarkeitsmengen quantenmechanischer Kontrollsysteme.

Prinzipiell unterscheidet man zwischen so genannten "geschlossenen Quantensystemen" (keine Wechselwirkung mit der Umgebung) und "offenen Systemen" (Wechselwirkung mit der Umgebung). Während die Zeitentwicklung geschlossener Systeme durch 1-Parameter-Gruppen unitärer Operatoren beschrieben wird, ist die Dynamik offener Systeme dagegen durch 1-Parameter-Halbgruppen vollständig positiver Operatoren gegeben. In beiden Fällen führen die zugrundeliegenden quantenmechanischen Bewegungsgleichungen (Liouville/Von Neumann bzw. Lindblad/Kossakowski Master-Gleichungen) auf  bilineare Kontrollsysteme.

Im Fokus unseres Interesses stehen derzeit grundlegende Erreichbarkeits- und Kontrollierbarkeitsfragen endlich-dimensionaler offener sowie unendlich-dimensionaler geschlossener Systeme. Die Theorie der Quantenensembles stellt in enger Zusammenarbeit mit der Arbeitsgruppe Ensemble-Kontrollierbarkeit einen weiteren  Schwerpunkt unserer Forschung dar.
 

Beteiligte des Forschungsbereichs und Kooperationspartner:

Aktuelle Projekte

  • DFG-Antrag: Approximate Quantum Control in Infinite Dimensional Operator Spaces

Ensemble-Kontrollierbarkeit

Der Forschungsschwerpunkt der Arbeitsgruppe Ensemble-Kontrollierbarkeit liegt auf der Untersuchung parameterabhängiger Systeme und deren Kontrollierbarkeitseigenschaften. Dabei hat sich der etwas irreführende Begriff des Ensemble als eine parameterabhängige Familie von Kontrollsystemen in den letzten Jahren in diesem Bereich etabliert. Unser besonderes Interesse gilt vor allem den folgenden Szenarien:

1. Lineare Systeme mit kontinuierlichen Parametern: Da der Fall endlich vieler Parameter einer klassischen Parallelschaltung entspricht und notwendige und hinreichende Kontrollierbarkeitskriterien für endlich-dimensionale lineare Systeme wohlbekannt sind, liegt unser Fokus hier auf Systemen mit kontinuierlichen Parametern. Es handelt sich somit um unendlich-dimensionale lineare Systeme, welche die spezielle Struktur haben, dass die Eingänge endlich-dimensional sind. Unser Interesse gilt notwendigen und hinreichenden Kriterien für Kontrollierbarkeit, die punktweise geprüft werden können.

2. Bilineare Systeme mit endlich vielen Parametern: Für bilineare Systeme ist schon der Fall endlich vieler Parameter nur teilweise verstanden. Sicherlich kann man hier Kontrollierbarkeit/Akzessibilität auf den LARC-Text zurückführen. Man ist jedoch an notwendigen und hinreichenden Kriterien, die sich leicht punktweise, d.h. für jeden festen Parameterwert überprüfen lassen, interessiert.

3. Bilineare Systeme mit unendlich vielen/kontinuierlichen Parametern: Für bilineare Systeme gibt es derzeit fast keine allgemeinen Ergebnisse. Unser Zugang konzentriert sich auf eine Formulierung der Problematik mittels Banach-Lie-Gruppen und somit auf Techniken aus dem Bereich der unendlich-dimensionalen bilinearen Systeme.

Beteiligte des Forschungsbereichs:

Aktuelle Projekte: