Pascalsches Dreieck - Mathematische Hintergründe

Im Original würde man bei der Bezeichnung der Zeilen und Diagonalen des Pascalschen Dreiecks bei der nullten Diagonale bzw. Zeile beginnen. Der Einfachheit halber beginnen wir mit der ersten Diagonale bzw. Zeile, wie in der folgenden Abbildung dargestellt ist.                                             

Das additive Bauprinzip

Das Bauprinzip des Pascalschen Dreiecks ähnelt dem der Zahlenmauern (Bicker, 2010, S. 1). Beginnend von den drei Einsen an der Spitze werden in den nächsten Zeilen immer zwei nebeneinanderliegende Zahlen addiert. Die Summe bildet in Folge den Zahlenwert des darunterliegenden Feldes. In die Felder der beiden äußeren Diagonalen werden stets Einsen eingetragen. Auf diese Weise kann das Dreieck bis ins Unendliche fortgesetzt werden (Goschler, 2018, S. 164).

Allgemeine Entdeckungen

Von Zeile zu Zeile kommt ein Eintrag mehr dazu. In jeder zweiten Zeile, also in den Zeilen mit einer ungeraden Anzahl an Einträgen, gibt es eine Mittelzahl, die den größten Zahlenwert der Zeile enthält. In den restlichen Zeilen tritt jede Zahl doppelt auf. Generell nehmen die Zahlenwerte von Zeile zu Zeile und innerhalb der Zeile von außen zur Mitte hin zu (Benz, 2010, S. 63). Des Weiteren ist das Dreieck symmetrisch zu einer senkrechten Symmetrieachse und enthält bekannte Zahlenfolgen (ebd.).

Zahlenfolgen

In der zweiten Diagonale steckt die Folge der natürlichen Zahlen. Dieses Muster gründet auf dem Bildungsgesetz des Dreiecks. Da die Randdiagonalen immer aus Einsen bestehen und die Summe zweier nebeneinanderliegender Felder stets das darunterliegende Feld ergibt, findet von Zeile zu Zeile fortlaufend eine „plus eins“ Addition statt (Goschler, 2018, S. 179). Somit entsteht die Folge der natürlichen Zahlen aufgrund des Zusammenhangs zwischen der ersten und zweiten Diagonale: Die Summe der ersten k Einsen ergibt die k-te natürliche Zahl (Kramer, 2016, S. 111).

In der dritten Diagonale befindet sich die Reihe der Dreieckszahlen (Goschler, 2018, S. 191). Die Dreieckszahlen zählen zur Klasse der figurierten Zahlen. Das heißt, sie lassen sich durch eine regelmäßige geometrische Figur darstellen (ebd., S. 192). Sie entstehen sukzessive durch die Addition der natürlichen Zahlen im Sinne von 1+2+3+…+n  und bilden in Form von Punktemustern Dreiecke (Bicker, 2010, S. 1). Die n-te Dreieckszahl lässt sich schreiben als:

 (Neumann, o. J.).

Zeilensummen

Eine weitere Besonderheit kann man im Pascalschen Dreieck entdecken, wenn man die Zeilensummen genauer untersucht.

Die Zeilensummen entstehen bei der Addition aller Zahlenwerte einer Zeile (Goschler, 2018, S. 213). Somit erhält man beginnend bei der ersten Zeile die Zeilensummen 1, 2, 4, 8, 16, 32 usw. Dabei fällt auf, dass alle Zeilensummen außer der ersten gerade sind (Benz, 2010, S. 62) und sich die Zeilensummen von Zeile zu Zeile verdoppeln (Goschler, 2018, S. 213). Diese Entdeckungen ergeben sich unter anderem aus der Struktur des Dreiecks, die festlegt, dass nebeneinanderliegende Zahlenwerte den darunterliegenden Zahlenwert ergeben (ebd.). Vereinfacht gesagt, verdoppelt sich die Summe von Zeile zu Zeile also deshalb, weil jede Zahl aus der oberen Zeile bei der Summenbildung zweimal in die untere Zeile einfließt (Benz, 2010, S. 62).

 Dies wird in dieser Animation verdeutlicht:

Teilbarkeiten

Schöne Muster entstehen im Pascalschen Dreieck, wenn man alle Felder, die beispielsweise durch zwei teilbar sind, farbig markiert. Dabei entstehen auf dem Kopf stehende Dreiecke, die regelmäßig angeordnet sind. Dazwischen befinden sich einzelne Punkte (Bicker, 2010, S. 2). Diese Dreiecksmuster entstehen aufgrund der Summenregel der Teilbarkeit. Für alle natürlichen Zahlen a, b, c gilt: Aus a│b und a│c folgt a│(b+c) (Padberg & Büchter, 2015, S. 23). Sind also im Pascalschen Dreieck Zahlen durch zwei teilbar, werden sie farbig markiert. Liegen diese Zahlen nebeneinander und bilden nach dem Bauprinzip als Summe die darunterliegende Zahl, so ist auch die darunterliegende Zahl durch zwei teilbar und wird markiert. Dadurch entstehen nach unten hin geschlossene Dreiecke. Aufgrund der Symmetrie des Pascalschen Dreiecks treten diese Muster regelmäßig auf (Bicker, 2010, S. 2). Die einzelnen markierten Felder, die zusätzlich ein Punktemuster bilden, entstehen dadurch, dass neben der markierten Zahl keine weiteren Zahlenwerte stehen, die durch zwei teilbar bzw. gerade sind. Addiert man nun eine Zahl, die durch zwei teilbar und somit gerade ist, mit einer Zahl, die ungerade ist, ist die Summe nach Umkehrung der Summenregel der Teilbarkeit nicht durch zwei teilbar und ungerade. Folglich werden die daneben- bzw. darunterliegenden Felder nicht markiert und es entstehen keine Dreiecke, sondern nur einzelne Punkte.

Auch diese Entdeckung wird anhand einer Animation veranschaulicht:

Literatur:

Benz, Ch. (2010). Das Pascal´sche Dreieck. In: Ulm, V. (Hrsg.). Gute Aufgaben Mathematik (S. 60-64). Berlin: Cornelsen.

Bicker, U. (2010). Produktives Üben und Argumentieren mit dem Pascal-Dreieck. https://eldorado.tu-dortmund.de/bitstream/2003/31859/1/032.pdf [Abruf: 23.08.2024].

Goschler, W. (2018). Inklusive Didaktik in Theorie und Praxis: Lernwerkstattarbeit und mathematische Muster am gemeinsamen Lerngegenstand. Würzburg: Würzburg University Press.

Kramer, M. (2016). Mathematik als Abenteuer: Band II: Algebra und Vektorrechnung (5. Aufl.). Seelze: Klett Kallmeyer.

Neumann, G. & Rodner, H. (o. J.). Didaktik der Mathematik der Sekundarstufe II: Zahlenfolgen und Grenzwerte. https://didaktik.mathematik.hu-berlin.de/files/pascalsches_dreieck.pdf [Abruf: 23.08.2024].

Padberg, F. & Büchter, A. (2015). Vertiefung Mathematik Primarstufe – Arithmetik/Zahlentheorie (2. Aufl.). Berlin, Heidelberg: Springer Spektrum.