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Die Topologie, auch bekannt als "Gummigeometrie", untersucht bestimmte Objekte, die bei "stetige Verformungen", z.B. Dehnung oder Verdrehung, invariant sind. Das bedeutet, dass sie im Gegensatz zur "klassischen" Geometrie nicht um die Messung von Abständen geht, sondern darauf abzielt, einen geeigneten Begriff von "Form" zu beschreiben.
Die Topologie ist ein wesentlicher Bestandteil der modernen Mathematik: sie hat Verbindungen zu den meisten Teilgebieten der Algebra, Geometrie, Analysis und mathematischen Physik, und wird zunehmend auch in der angewandten Mathematik verwendet (z.B. topologische Datenanalyse).
Dieser Kurs ist eine Einführung in die mengentheoretische (oder allgemeine) Topologie: wir werden die grundlegenden Definitionen, Konstruktionen und Eigenschaften von topologischen Räumen diskutieren. Gegen Ende des Kurses werden einige Einblicke in differential- und algebraische Topologie gegeben.
Die Voraussetzungen beschränken sich auf grundlegende Analysis und lineare Algebra. Vorkenntnisse in Gruppentheorie sind hilfreich, aber nicht unbedingt erforderlich, und werden im Kurs eingeführt.
Masterseminar: Blätterungen und charakteristische Klassen/ Foliations and characteristic classes
In this seminar we discuss special (i.e.~compatible) foliations on fibered spaces, in particular on vector bundles, Lie groupoids and principal bundles, as well as characteristic classes associated to these structures. Our goal is to get an overview of the results in the field, but we are particularly interested in obstruction results like Bott's vanishing theorem.
This theorem states that the normal bundle of an involutive subbundle of the tangent bundle of a manifold must have vanishing Pontryagin classes from a certain degree on. This was recently re-understood in the context of foliations on vector bundles, as a `differential-topological' obstruction to the existence of a reduced version of a given vector bundle. We will explain this result in the first third of the semester, and then move on to similar results on foliated principal bundles and foliated Lie algebroids/groupoids. If there is interest, we will also have a look at the different topological obstructions to foliations that were found in the 70's.
The prerequisite for following this seminar is a differential geometry 1 course (smooth manifolds, vector fields and their flows, and ideally vector bundles and linear connections). Some basic knowledge of Lie theory would be useful as well (Lie groups, Lie group actions).
We meet on Tuesdays from 10:15 to 11:45 in the room S0.107 in the BSZ. We will start the seminar on the 15th of October, see the program of the seminar. I will give the first few seminars. Please let me know if you would like to give a talk and which topic is your preference. I will then give you a more precise description of the contents of the talks.
In dieser Vorlesung beschäftigen wir uns mit der Studie von differenzierbaren Kurven und Flächen im euklidischen Raum R^3. Wir beginnen mit der Klassifikation der ebenen Kurven durch ihre Krümmungsfunktionen, und studieren dann die Krümmung und die Torsion von Raumkurven.
Dann wenden wir uns differenzierbaren Flächen in R^3. Wir untersuchen anhand ihrer ``ersten Fundamentalform’’ ob und wie eine parametrisierte Fläche Längen, Winkel und Flächeninhalte erhält, und beweisen zum Beispiel dass es keine Karte der Erde gibt, die Längen erhält. Wir beschäftigen uns dann mit Krümmungseigenschaften von differenzierbaren Flächen in R^3, und beweisen den wunderschönen Satz von Gauss-Bonnet, der die Krümmung einer kompakten, geschlossenen Fläche mit einer ihrer topologischen Eigenschaften in Verbindung bringt.
Diese Vorlesung wird von zahlreichen anschaulichen Beispielen bereichert, die auch leicht auf Geogebra darstellen sind, und dem Verständnis für das gelehrte Material erheblich vereinfachen! Diese Vorlesung dient sehr gut als Einführung in die Riemannsche Geometrie, die diese Begriffe von Kurven und Flächen in R^3 in höhere Dimensionen abstrahiert.
Notwendige Vorkenntnisse: Lineare Algebra 1 und 2, Analysis 1 und 2. Eine spezielle Geogebra-Fragestunde wird wöchentlich neben der Vorlesung und den Übungen angeboten.
Vorlesungen montags 14-16 Uhr und mittwochs 8-10 Uhr im HS 4.
Übungen donnerstags 8-10 Uhr im Raum S0.106 mit Spyridon Kakaroumpas.
Wöchentliche Fragestunde und Geogebra Praktikum mit Spyridon Kakaroumpas; die Zeit wird noch angekündigt.
In diesem Seminar beschäftigen wir uns mit einer Auswahl an Beweisen aus dem ``BUCH der Beweise’’ von Martin Aigner und Günter M. Ziegler. Dieses Buch beinhaltet eine Sammlung besonders eleganter mathematischer Beweise von Aussagen, die in der Regel einfach zu formulieren sind. Das Buch wurde erstmals 1998 auf Englisch und 2002 auf Deutsch herausgegeben und beide Versionen stehen uns über die Universitätsbibliothek elektronisch zur Verfügung.
Unser Ziel in diesem Seminar ist es, anhand einiger Resultate und Beweise aus dem Buch zu erfahren, wie mathematische Beweise konzise und elegant, aber gleichzeitig sehr präzise formuliert werden. Wir lernen dabei Beweismethoden, sowie zum Beispiel Grundlagen der Graphentheorie. Die Studierenden suchen sich ein Resultat (ein Abschnitt) aus dem Buch aus, was ihnen gut gefällt, und stellen das, mitsamt des Beweises, der Gruppe vor. Eine Liste von Themenvorschlägen ist auf WueCampus verfügbar. Die notwendige mathematische Vorkenntnisse für dieses Seminar sind die, die sich Studierenden der Mathematik im ersten Studienjahr angeeignet haben (und zwar hauptsächlich in einer Lineare Algebra 1 Vorlesung).
Freitags 10 bis 12 Uhr im Raum S0.106
The concept of symmetry is ubiquitous in mathematics and leads naturally to different theoretical frameworks. For instance, the standard notion of a group is suitable to study discrete symmetries (e.g. permutations), while continuous symmetries are modelled by Lie groups. Lie groupoids, introduced by Ehresmann in the 1950's, are groupoids endowed with a compatible smooth structure, and they model "point-dependent" continuous symmetries. Lie algebroids, introduced by Pradines in 1967, are "linear approximations" of Lie groupoids: they consist in vector bundles equipped with a special Lie bracket on the space of global sections. In the last few decades, these objects led to countless applications in category theory, algebraic geometry, noncommutative geometry, pseudodifferential operators, PDEs and mathematical physics.
Poisson geometry, i.e. the study of manifolds endowed with a Poisson structure, is a young field as well: it emerged between the 1970s and 1980s with the works of Lichnerowicz and Weinstein. It originates within the classical formalism of Hamiltonian mechanics, and it has developed strong connections with various areas of differential geometry, including symplectic geometry, foliation theory and complex geometry. Additionally, it has applications in both theoretical (representation theory, algebraic and differential topology, etc.) and applied mathematics (deformation quantisation, fluid dynamics, symplectic integrators, etc.).
Since the end of the 1980s, Poisson geometry has greatly benefitted from the theory of Lie groupoids and algebroids, and, in turn, has significantly contributed to the development of Lie theory. Accordingly, the goal of this course is to explore the fundamental concepts and theorems related to Lie groupoids/algebroids and to Poisson geometry, as well as their interplay, culminating with the integrability of Poisson manifolds.
The only prerequisite is a standard master course in differential geometry, covering smooth manifolds, vector fields, differential forms, and vector bundles. Previous knowledge of Lie groups/Lie algebras is helpful but not required. Attending in parallel the master course "Geometric Mechanics" can be beneficial, due to the many synergies between symplectic and Poisson geometry.
In dieser Vorlesung beschäftigen wir uns mit der Studie von differenzierbaren Kurven und Flächen im euklidischen Raum R^3. Wir beginnen mit der Klassifikation der ebenen Kurven durch ihre Krümmungsfunktionen, und studieren dann die Krümmung und die Torsion von Raumkurven.
Dann wenden wir uns differenzierbaren Flächen in R^3. Wir untersuchen anhand ihrer ``ersten Fundamentalform’’ ob und wie eine parametrisierte Fläche Längen, Winkel und Flächeninhalte erhält, und beweisen zum Beispiel dass es keine Karte der Erde gibt, die Längen erhält. Wir beschäftigen uns dann mit Krümmungseigenschaften von differenzierbaren Flächen in R^3, und beweisen den wunderschönen Satz von Gauss-Bonnet, der die Krümmung einer kompakten, geschlossenen Fläche mit einer ihrer topologischen Eigenschaften in Verbindung bringt.
Diese Vorlesung wird von zahlreichen anschaulichen Beispielen bereichert, die auch leicht auf Geogebra darstellen sind, und dem Verständnis für das gelehrte Material erheblich vereinfachen! Diese Vorlesung dient sehr gut als Einführung in die Riemannsche Geometrie, die diese Begriffe von Kurven und Flächen in R^3 in höhere Dimensionen abstrahiert.
Notwendige Vorkenntnisse: Lineare Algebra 1 und 2, Analysis 1 und 2. Eine spezielle Geogebra-Fragestunde wird wöchentlich neben der Vorlesung und den Übungen angeboten.
Vorlesungen montags 14-16 Uhr und mittwochs 8-10 Uhr im HS 4.
Übungen donnerstags 8-10 Uhr im Raum S0.106 mit Spyridon Kakaroumpas.
Wöchentliche Fragestunde und Geogebra Praktikum mit Spyridon Kakaroumpas; die Zeit wird noch angekündigt.
In diesem Seminar beschäftigen wir uns mit einer Auswahl an Beweisen aus dem ``BUCH der Beweise’’ von Martin Aigner und Günter M. Ziegler. Dieses Buch beinhaltet eine Sammlung besonders eleganter mathematischer Beweise von Aussagen, die in der Regel einfach zu formulieren sind. Das Buch wurde erstmals 1998 auf Englisch und 2002 auf Deutsch herausgegeben und beide Versionen stehen uns über die Universitätsbibliothek elektronisch zur Verfügung.
Unser Ziel in diesem Seminar ist es, anhand einiger Resultate und Beweise aus dem Buch zu erfahren, wie mathematische Beweise konzise und elegant, aber gleichzeitig sehr präzise formuliert werden. Wir lernen dabei Beweismethoden, sowie zum Beispiel Grundlagen der Graphentheorie. Die Studierenden suchen sich ein Resultat (ein Abschnitt) aus dem Buch aus, was ihnen gut gefällt, und stellen das, mitsamt des Beweises, der Gruppe vor. Eine Liste von Themenvorschlägen ist auf WueCampus verfügbar. Die notwendige mathematische Vorkenntnisse für dieses Seminar sind die, die sich Studierenden der Mathematik im ersten Studienjahr angeeignet haben (und zwar hauptsächlich in einer Lineare Algebra 1 Vorlesung).
Freitags 10 bis 12 Uhr im Raum S0.106
Die Pionierarbeiten von Sophus Lie in den 1870er Jahren über Symmetrien von Differentialgleichungen führten zu den Begriffen der Lie-Gruppen und Lie-Algebren. Diese konstituieren die moderne Formulierung der ubiquitäre Idee der "stetige Symmetrien", die an der Schnittmenge zwischen Algebra und Geometrie liegt und ein Schlüsselkonzept der (mathematischen) Physik ist.
Lie-Gruppen sind Gruppen mit einer kompatiblen Struktur von "glatte Raum"; Lie-Algebren sind die "linearen Approximationen" von Lie-Gruppen und sind oft einfacher zu behandeln Objekte.
Das Ziel dieses Seminars ist zweifach. Einerseits werden wir eine bedeutsame Klasse dieser "Räume" erkunden, nämlich die Lie-Gruppen und Lie-Algebren von Matrizen. Anderseits sollen die Studierenden lernen, neue Studienmaterialien zu präsentieren und mit ihren Kommilitonen sie zu diskutieren.
Die Voraussetzungen beschränken sich auf lineare Algebra und grundlegende Gruppentheorie. Vorkenntnisse in Topologie sind hilfreich, aber nicht unbedingt erforderlich, und werden im Kurs eingeführt.
Montags 16-18 Uhr im Raum S1.101
Die Topologie, auch bekannt als "Gummigeometrie", untersucht bestimmte Objekte, die bei "stetige Verformungen", z.B. Dehnung oder Verdrehung, invariant sind. Das bedeutet, dass sie im Gegensatz zur "klassischen" Geometrie nicht um die Messung von Abständen geht, sondern darauf abzielt, einen geeigneten Begriff von "Form" zu beschreiben.
Die Topologie ist ein wesentlicher Bestandteil der modernen Mathematik: sie hat Verbindungen zu den meisten Teilgebieten der Algebra, Geometrie, Analysis und mathematischen Physik, und wird zunehmend auch in der angewandten Mathematik verwendet (z.B. topologische Datenanalyse).
Dieser Kurs ist eine Einführung in die mengentheoretische (oder allgemeine) Topologie: wir werden die grundlegenden Definitionen, Konstruktionen und Eigenschaften von topologischen Räumen diskutieren. Gegen Ende des Kurses werden einige Einblicke in differential- und algebraische Topologie gegeben.
Die Voraussetzungen beschränken sich auf grundlegende Analysis und lineare Algebra. Vorkenntnisse in Gruppentheorie sind hilfreich, aber nicht unbedingt erforderlich, und werden im Kurs eingeführt.
Vorlesungen dienstags 10-12 Uhr und donnerstags 16-17 Uhr im HS 4
Übungen donnerstags 17-18 Uhr im HS4
In these lectures, we study Lie groups and their Lie algebras, mostly from a differential geometric point of view.
Our goal is the correspondence between (finite dimensional) Lie algebras and simply connected Lie groups.
- As a warmup, we start with 'matrix Lie groups' and 'matrix Lie algebras'; the concrete and maybe already known examples.
- Then we study abstract Lie algebras and prove that any abstract (finite dimensional) real Lie algebra is a matrix Lie algebra (Ado's theorem).
- We define and study Lie groups and show Lie's 3 theorems. For this, we'll go quickly over the theory of regular foliations on smooth manifolds.
Note that for the third and last part of the lectures, you will need solid background knowledge in the following differential geometry prerequisites: smooth manifolds and smooth maps, tangent bundles and tangent maps, vector fields and flows. If you haven't this knowledge, it is strongly recommended that you follow in parallel the lectures on differential geometry.
Dienstags 10 bis 12 Uhr im S1.103, Donnerstags 12-14 Uhr SE 30
Übungen Freitags 8-10 Uhr im SE30 mit J. Pitt.
In der Veranstaltung lernen Sie die Grundbegriffe und Methode der Differentialgeometrie kennen:
- topologische/differenzierbare Mannigfaltigkeiten und differenzierbare Abbildungen
- Immersionen, Einbettungen, Submersionen, Diffeomorphismen
- Vektorbündel und Zusammenhänge, insbesondere: Tangential- und Kotangentialbündel einer Mannigfaltigkeit
- Vektorfelder und ihre Flüsse
- Differenzierbare Formen und de Rham Kohomologie
- eventuell: Blätterungen
Die Differentialgeometrie-Vorlesung ist notwendig für ein Fokus auf Differentialgeometrie im Master-Studium. Sie wird für viele der weiterführenden Geometrie-Veranstaltungen vorausgesetzt. Dieses Jahr (WiSe 22/23) kann sie parallel zur Lie Theorie von Prof. Dr. Waldmann und zur Algebraischen Topologie von Dr. Schaumann gehört werden.
Notwendige Vorkenntnisse: Lineare Algebra 1 und 2, Analysis 1 und 2; Vorkenntnisse aus der Topologie werden erwünscht, aber in der ersten Vorlesungswoche wiederholt.
Termine:
Montags 14 bis 16 Uhr im S1.101, Donnerstags 8-10 Uhr SE 30
Übungen Donnerstags 14-16 Uhr im SE30 mit J. Pitt.
In der Vorlesung interessieren wir uns für den axiomatischen Aufbau der Euklidischen Geometrie (der Ebene), und lernen anschliessend klassische wichtige Resultate dieser Geometrie.
Termine: Dienstags 14-16 Uhr , und Mittwochs 8-10 Uhr im Pabel Hörsaal (S0.108)
Übungen mit B. Wolf Freitags 8-10 Uhr S0.101, 10-12 Uhr S0.103
