Projekte

Da in der formalen Deformationsquantisierung ℏ nur als formaler Parameter angesehen wird, muss für eine physikalisch belastbare Theorie die Frage nach der Konvergenz beantwortet werden. Dies ist im Allgemeinen eine sehr schwierige Problematik, da bekannt ist, dass das Sternprodukt für alle glatten Funktionen sicher nicht konvergieren kann. Daher muss eine geeignete Unteralgebra gefunden werden, für welche man dann die Konvergenz nachweisen kann. Diese sollte zum einen klein genug sein, damit man bei den Konvergenzbetrachtungen Erfolg hat, zum anderen muss sie groß genug sein, um alle relevanten physikalischen Observablen zu enthalten. In diesem langfristigen Projekt wird zum einen versucht, allgemeine Konstruktionen zu finden, zum anderen werden spezielle Beispiele im Detail diskutiert.

Ansprechpartner: Stefan Waldmann

Die Sternprodukte besitzen eine zusätzliche algebraische Struktur, die durch die komplexe Konjugation gegeben ist und eine ^*-Involution darstellt. Physikalisch ist dies von nicht zu überschätzender Wichtigkeit, da nur mit Hilfe dieser ^*-Involution die wirklich observablen Elemente der Observablenalgebra als die Hermiteschen Elemente ausgezeichnet werden können. Die ^*-Involution wird nun wichtig, wenn man versucht, die Observablenalgebren durch Operatoren auf Hilbert-Räumen darzustellen: man sucht nach einer ^*-Darstellung. Da die Sternprodukte nur formale Reihen in ℏ sind, muss auch der Begriff Hilbert-Raum an diese Situation angepasst werden: wir betrachten daher einen rein algebraischen Rahmen von ^*-Algebren über geordneten Ringen und deren ^*-Darstellungen auf Prä-Hilbert-Räumen über solchen Ringen. Die Algebren der Deformationsquantisierung bilden dann eine große und nichttriviale Beispielklasse, es treten aber auch andere Beispiele aus der reinen Mathematik ebenso wie aus der Quantenphysik auf, welche in diesem sehr allgemeinen Umfeld untersucht werden können.In einem zweiten Schritte werden dann auch konvergente Sternprodukte betrachtet und die Darstellungstheorie durch unbeschränkte Operatoren untersucht.

Ansprechpartner: Stefan Waldmann

Eine klassische Fragestellung der Algebra lautet, was man über einen (nichtkommutativen) Ring erfahren kann, wenn man seine gesamte Darstellungstheorie kennt, also die Kategorie aller Linksmoduln. Die Antwort ist, dass zwei Ringe genau dann die gleiche Darstellungstheorie besitzen, wenn es einen Bimodul zwischen ihnen gibt, der gewisse explizite Eigenschaften besitzt. In diesem Fall spricht man von Morita-Äquivalenz der Ringe. Im kommutativen Fall reduziert sich Morita-Äquivalenz auf Isomorphie. Trotzdem ist es auch in diesem Fall interessant, da man sich fragen kann, auf wie viele Weisen ein Ring zu sich selbst Morita-äquivalent sein kann. Die Menge der Selbstäquivalenzen bildet eine Gruppe, die Picard-Gruppe des Rings. Im kommutativen Fall enthält sie die Automorphismen als eine Untergruppe, besitzt aber im Allgemeinen noch weitere Elemente, die in guten Situationen einfache geometrische Interpretationen besitzen. Unser Interesse an der Morita-Theorie rührt nun daher, dass die Darstellungstheorie der Observablenalgebren, die als Deformationsquantisierung klassischer Systeme auftreten, verstanden werden soll. Hierzu wurden vollständige Klassifikationsergebnisse erzielt, aktuelle Fragestellungen berücksichtigen zudem Symmetrieaspekte und den klassischen Limes.

Ansprechpartner: Stefan Waldmann

Besitzt ein klassisches mechanisches System viele Symmetrien, so entsprechen diese nach dem Noetherschen Theorem Erhaltungsgrößen. Eine konzeptuell klare Formulierung geschieht mit Hilfe einer Impulsabbildung. Das Festsetzen der Erhaltungsgrößen auf bestimmte Werte führt dann zur Phasenraumreduktion, die aus dem hoch-dimensionalen Phasenraum einen kleineren Phasenraum niedrigerer Dimension konstruiert, der dann aber typischerweise kompliziertere Geometrie aufweisen kann. Da dies auf klassischer Seite eine wichtige und äußerst erfolgreiche Konstruktion ist, will man ein Analogon auch auf Seite der Quantenphysik. In diesem langfristig angelegten Projekt beschäftigen wir uns nun mit verschiedenen Konstruktionen zur Phasenraumreduktion von Sternprodukten und den resultierenden Eigenschaften der reduzierten Sternprodukte. Zudem soll das Verhalten der jeweiligen Darstellungstheorien unter Phasenraumreduktion studiert werden.

Ansprechpartner: Stefan Waldmann

Sternprodukte deformieren die kommutative Funktionenalgebra einer Mannigfaltigkeit in eine nichtkommutative Algebra. Die differentialgeometrischen Eigenschaften der Mannigfaltigkeit sind nun vollständig in den algebraischen Eigenschaften der Funktionenalgebra kodiert, so dass man bei der Deformation also von einer nichtkommutativen Mannigfaltigkeit sprechen kann. Dies erschließt nun völlig neue Betätigungsfelder der Deformationsquantisierung nämlich die nichtkommutative Geometrie.

Wir beschäftigen uns nun mit der Frage, welche anderen geometrischen Strukturen man bei gegebenem Sternprodukt ebenfalls deformieren kann. Hier sind insbesondere Vektorbündel und auch allgemeinere Bündel wie etwa Hauptfaserbündel von Interesse, bilden diese doch die Basis für jede geometrische Formulierung von physikalischen Feldtheorien. Während Vektorbündel und Hauptfaserbündel sich immer als Rechtsmodul deformieren lassen und diese Deformationen sogar eindeutig bis auf Isomorphie sind, ist dies für kompliziertere geometrische Objekte nicht länger klar. Weiter untersuchen wir hier auch die Möglichkeiten, Bimodulstrukturen anstelle der Rechtsmodulstrukturen zu erhalten. Die Fragestellungen erfordern die Berechnung bestimmter Kohomologien, welche die Obstruktionen für die Deformierbarkeit beschreiben.

Weiter lassen sich geometrische Strukturen auch klassisch deformieren: eine gegebene geometrische Struktur wird in eine Familie von Strukturen des gleichen Typs deformiert. Auf diese Weise erhält man Stabilitätsaussagen und Starrheitssätze. Wir untersuchen hier insbesondere verschiedene Situation aus der Poisson-Geometrie wie etwa die Deformationstheorie von Morita-Bimoduln zwischen Poisson-Mannigfaltigkeiten.

 Ansprechpartner: Stefan Waldmann

Nachdem projektive Geometrie schon lange eine wichtige Rolle im Bereich Computer Vision spielt, werden in den letzten Jahren auch zunehmend Methoden aus der Differentialgeometrie benötigt, um statische und dynamische Effekte mathematisch korrekt zu beschreiben. Die Riemannschen Mannigfaltigkeiten, die hier auftreten sind oftmals von kleiner Dimension (<10) und damit auch Computersimulationen zugänglich. Die Entwicklung von Algorithmen und Methoden zur effizienten Interpolation, Optimierung, Regelung und Datenverarbeitung auf der sogenannten essentiellen Mannigfaltigkeit steht in diesem Projekt im Vordergrund.

Ansprechpartner:  Knut Hüper

Gewisse Quantenfeldtheorien lassen sich mathematisch exakt beschreiben. Eine gut studierte Beispielklasse davon sind topologische Quantenfeldtheorien (TFT) in 3 Dimensionen, sogenannte Quanten Chern-Simons Theorien und deren Verallgemeinerungen. Hier gibt es enge Verbindungen zu Knoteninvarianten, Modulräumen flacher Zusammenhänge, Hopf Algebren und Tensorkategorien, die eine Beschreibung der Observablenalgebren erlauben. Physikalisch sind diese Theorien durch Verbindungen zu topologischen Phasen der Materie und 2+1-dimensionaler Quantengravitation interessant.

Verschiedene TFTs können über Defekte "zusammengeklebt" werden, das heißt es gibt Gebiete in der Raumzeit bei denen die Theorie wechselt. Die allgemeine Struktur der Defekte führt zu einer höheren Kategorie: In n Dimensionen hat man es mit einer n-Kategorie der Defekte zu tun. Abgesehen von der allgemeinen Situation führen in den Beispielen von Theorien, die über Tensorkategorien beschrieben sind, die Defekte zu einer höheren Darstellungstheorie von Tensorkategorien: So wie Algebren auf Moduln wirken, so können Tensorkategorien auf anderen Kategorien wirken. Beispiele und Struktur dieser höheren Darstellungstheorie sind von unabhängigem mathematischem Interesse.  

 Ansprechpartner:  Gregor Schaumann

Tensorkategorien sind monoidale Kategorien mit netten Eigenschaften, die sich mathematisch als algebraische Objekte studieren lassen. Beispielsweise  kann man die  Darstellungs 2-Kategorie  einer Tensorkategorie C betrachten, bei der ein  Objekt  aus einer Kategorie M mit einer Wirkung von C besteht. Viele klassische Strukturen der Darstellungstheorie  haben höhere Analoga, wie direkte Summen, die  duale Darstellung, invariante innere Produkte, etc.

Wie in der klassischen Darstellungstheorie ist es von Interesse Tensorkategorien über ihre Darstellungen zu studieren. Fragen wie Unimodularität oder Halbeinfachheit lassen sich in dem Rahmen sinnvoll formulieren.  Es gibt aber auch zahlreiche neue Phänomene, die in der klassischen Darstellungstheorie nicht  auftreten, wie zum Beispiel der Unterschied zwischen links- und rechts-exakten Intertwinern zwischen Darstellungen, oder der Effekt, dass Doppelduale  im Allgemeinen nicht  gleich der Identität  sind. 

 Ansprechpartner:  Gregor Schaumann