Forschungsbereiche
Nash-Gleichgewichtsprobleme
Viele Problemstellungen aus Wirtschaft und Technik basieren auf mehreren Akteuren, die innerhalb gewisser Einschränkungen versuchen, einen gegebenen Zielwert zu optimieren. Typische Beispiele sind etwa Modelle für Verkehrssimulationen oder Marktsituationen mit mehreren Firmen, die ihren jeweiligen Profit maximieren möchten. Derartige Problemstellungen führen zum mathematischen Konzept des sog. Nash-Gleichgewichts. Unsere Forschung beinhaltet eine vollumfängliche Diskussion dieser Probleme und der zugrunde liegenden mathematischen Theorie sowie die Entwicklung numerischer Ansätze zur praktischen Bestimmung von Nash-Gleichgewichten.
Darüber hinaus bildet das Nash-Gleichgewichtsproblem den Ausgangspunkt für kompliziertere Mehrspielerprobleme sowie Variations- und Quasi-Variationsungleichungen. Unsere Forschung diskutiert daher den Zusammenhang und die jeweilige Struktur dieser Problemklassen sowie die Merkmale und Charakteristika verschiedener numerischer Ansätze für deren Lösung.
Optimierung und Variationsprobleme in Banachräumen
Mathematische Modelle aus vielen Naturwissenschaften führen zu Problemstellungen, die nicht mit endlich-dimensionalen Mitteln beschrieben werden können. Dazu zählen etwa Hindernisprobleme (Wikipedia), optimale Steuerungsprobleme und Optimierungsaufgaben mit kontinuierlicher Zeit. Mathematisch betrachtet handelt es sich bei diesen Anwendungen um unendlich-dimensionale Optimierungsprobleme. Die Analyse solcher Probleme erfordert Mittel, welche die klassische endlich-dimensionale Optimierung erweitern bzw. verallgemeinern.
Unsere Forschung zielt auf die Entwicklung von Konzepten und Ansätzen zur Lösung unendlich-dimensionaler Optimierungsprobleme. Die zugrunde liegende Theorie vereint mehrere mathematische Disziplinen wie Funktionalanalysis, Numerik und wissenschaftliches Rechnen. Wir kooperieren in diesen Bereichen mit Mitgliedern der Arbeitsgruppe Optimale Steuerung.
Nichtglatte Optimierung
Viele Anwendungen mathematischer Optimierung führen zu nichtglatten Strukturen. Dazu zählen Optimierungsaufgaben mit nichtglatten Funktionen, welche z.B. in der Mehrebenenoptimierung auftreten, oder Probleme mit irregulären Nebenbedingungen wie Komplementaritätsbedingungen oder sparsity constraints. Unsere Forschung behandelt derartige Fragestellungen mit modernen Mitteln der nichtglatten Analysis und entwickelt zukunftsfähige Konzepte zur fundierten Lösung der zugrunde liegenden Problemklassen.
